>172

n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。
　http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
　大関, ｢不等式への招待」 近代科学社 (1987) 絶版

n=3〜6 については
　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ2.html の >889

n≦13 については
　H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).

〔余談〕
(左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。
　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ1.html の >501