>>157
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確かにその本にはそう書いてありますね。
しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは

「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。
このとき，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
が成立する。」

ではないかと思われます。

おそらく著者は，
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage
から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。

この修正版の不等式は，次のようにして示せます。

g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。

また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので
{xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2

よって，
∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx
＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx
＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない)


この係数1/4の最良性は言えそうで言えない……