不等式への招待 第３章
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0155１３２人目の素数さん
2007/10/27(土) 07:39:25f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で，
2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82……
よって不成立。
0156１３２人目の素数さん
2007/10/27(土) 09:27:36f(x)=sin(nπx)のとき，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4
なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。
0157１３２人目の素数さん
2007/10/28(日) 11:31:45成り立たないのですか！
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、
これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz
お騒がせしました。
しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。
0158１３２人目の素数さん
2007/10/28(日) 18:57:34こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。
x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、
w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は?
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/59
分かスレ２８０
0159１３２人目の素数さん
2007/10/28(日) 19:03:47いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。
y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx,
z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy,
x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz,
よって
w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz)
= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3
= (s^2 -t)t^2 -us^3
≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9}, (← s^3 -4st ≧ -9u)
ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3,
ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9},
ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。
ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。
等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち
(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c).
ぬるぽ
0160１３２人目の素数さん
2007/10/28(日) 20:46:19ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は
w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2
と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で
1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで
p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z)
p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x)
p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y)
であるから
w=(1/27)|p^3-1|^2
である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの
2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき
p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w)
を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで
p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると
p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it)
|p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2)
あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる
ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2
のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。
0161１３２人目の素数さん
2007/10/28(日) 22:11:570162１３２人目の素数さん
2007/10/28(日) 22:17:410163１３２人目の素数さん
2007/10/29(月) 00:47:040164156
2007/10/29(月) 13:38:52>>157
確かにその本にはそう書いてありますね。
しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは
「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。
このとき，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
が成立する。」
ではないかと思われます。
おそらく著者は，
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage
から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。
この修正版の不等式は，次のようにして示せます。
g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。
また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので
{xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2
よって，
∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx
＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx
＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない)
この係数1/4の最良性は言えそうで言えない……
0165１３２人目の素数さん
2007/10/29(月) 14:40:59ご丁寧な解答ありがとうございます。
逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。
ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b]
（ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。
私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を
使って上から押さえるタイプのが多いようです。
しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの
式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。
そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？
0166156
2007/10/29(月) 15:55:37おっと，
http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage
をよく読むと，
∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。
つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに
著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。
＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？
難しいと思いますね。
直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても，
その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。
逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから，
|f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。
また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって
フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2
∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2
です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても，
|f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。
0167１３２人目の素数さん
2007/10/30(火) 22:30:48>∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx
>については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。
>存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。
ご丁寧にありがとうございます。それなら、納得です。
（ところで、JSTORってフリーじゃないですね。）
このタイプの不等式、つまり、微分を評価するのは、偏微分方程式の解の
評価とかで非常に重要で、また、いろいろと応用が多いのですが、
さすがにこれだけの条件では無理ですね。
ただ、不等式の形が特殊なのでいけるのかな？と思ったんですけど、おっしゃる
ように関数が激しく振動してしまうと無理ですよね。
積分型の不等式で何か良い本がございましたら、教えてください。
（洋書でも構いません）
0168156
2007/10/31(水) 01:14:28今手元にあるわけではなく，以前図書館でパラパラ見たときの記憶ですが，
http://amazon.com/o/ASIN/0444517952
には積分型の不等式が大量に載っていたように思います。
お探しのタイプの不等式が載っているかどうかは分かりませんが。
0169１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 06:25:55小平-Spencer-NirenbergのL^4 ぐらいで。
0170１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 18:01:36お前の負けだな。
0171１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 18:04:38｢二次式｣だけで、ごっつい不等式
0172１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 21:02:13[問題（激難）]
実数 a_i > 0 (i=1,,,n) のとき、
a_1/(a_2 + a_3) + a_2/(a_3 + a_4) + … + a_{n-1}/(a_{n} + a_1) + a_n /(a_1 + a_2) >= n/2
が成り立つような、n の範囲を求めよ。
0173１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 22:45:09n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。
http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
大関, ｢不等式への招待」 近代科学社 (1987) 絶版
n=3～6 については
過去スレのミイラ置場の 不等式スレ2.html の >889
n≦13 については
H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).
〔余談〕
(左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。
過去スレのミイラ置場の 不等式スレ1.html の >501
0174１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 23:25:12>>171
激難というか、未解決問題じゃねえかよ！
Shapiro の巡回不等式だな。
まあ、答えが直ぐに出る問題もいいが、こんな不等式でも未解決である
ということは不思議だよな。（n によって真偽が異なるし）
これを解いたら、かなりいい雑誌に論文として載るだろうから、挑戦
する価値は十分にあるだろう。
0175１３２人目の素数さん
2007/11/12(月) 23:40:490177１３２人目の素数さん
2007/11/13(火) 03:22:28http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=Shapiro+Cyclic+Inequality&lr=
J. Ineq. Appl.
Shapiro’s cyclic inequality for even n (by P. J. Bushell and J. B. Mcleod)
http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164
In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n
variables. All the numerical evidence indicates that the inequality
is true for even n≤12 and for odd n≤23.
We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former
result. The remaining case n=23 remains an open problem.
2002年の時点ではまだ未解決。
0178１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 00:46:05ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!
Full-text PDF もDLして読んでまつ････
0179１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 03:11:28他にも Shapiroの巡回不等式関係の論文は山ほどあるから、最新のを探して
から読んだほうがいいよ。
漏れも今どこまで分かっているのか知らないから、もし分かったら教えてちょ。
しかし、Journal of Inequality なんて雑誌があるんだ。
不等式は奥が深いぞ！
やべ～、はまりそうだ
0180１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 04:48:460181１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 07:30:27http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1045388265/95
0182１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 08:55:34勘違いしているようだねｗ
かなり痛い男だｗ
0183１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 08:57:1595 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:18
古田の不等式。
作った本人に聞けばそれが載ってる数学辞典やら他
様々な文献を見せ付けられることでしょう。
96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:28
ﾜﾛﾀ
0184１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 20:47:181/2 <= 1/1+√x <= 1/1+x二乗
どうしても分かりません;;;誰か解いてください!!;;;;
0185１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 20:51:44藤川英華っておばはん顔じゃんｗ
ブスだな
0186１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 21:11:15いや、ホンマに凄いことなんやで！
世界的数学者
古田の不等式
http://www.zaikai21.co.jp/zaifuku/back/0310.html
0187１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 21:14:59数学百科全書ってなに？
Springerからでている Encyclopaedia of Mathematical Science？
0188１３２人目の素数さん
2007/11/14(水) 21:29:280189１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 00:23:04すごいな
四年も粘着してるのか
どんな私怨があるんだろ？
0190１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 00:41:41どこにいる？
0191１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 10:00:550192１３２人目の素数さん
2007/11/15(木) 11:14:35本当に>>172のような単純な形をしているのか？
元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？
不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。
「不等式への招待」に現れる不等式の中には
何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。
0193１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 10:15:46f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば，
次の不等式が常に成立することを示せ：
max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|．
0194１３２人目の素数さん
2007/11/17(土) 15:15:42(左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b])
X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0,
∴ f'(ξ) = 0,
|f'(X)－f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|},
|f (X)－f (ξ)| ≦ (1/2)(X－ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]},
題意より f(a)=f(b)=0 だから,
(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺),
注) ξ∈[a,b] ⇒ min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。
0195１３２人目の素数さん
2007/11/18(日) 03:42:56「ある作用素不等式のやさしい証明」
数学(岩波), Vol.40, p.354 (1988)
http://wwwsoc.nii.ac.jp/msj6/sugaku/s-index.html
「それはスペルミスの手紙から始まった／フルタの不等式の成立をめぐって」
数セミ, Vol.32, No.10, 通巻385, p.68-71 (1993.10)
http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss9310.htm
0196１３２人目の素数さん
2007/11/18(日) 14:41:48そうだよ。
どうしてこの不等式が出てきたのかは知らないが、まだ未解決らしい。
もっとも、問題が簡単な形をしているから易しい、というのは完全な誤解。
それは、フェルマー予想やポアンカレ予想のことを思えば納得行くだろう。
しかし、Shapiro の巡回不等式の場合、n=14, 20 で反例があることは分かっている。
16≦n の場合を大型計算機ででチェックぐらいはすれば、ある程度は分かると思う。
なお、n が十分大きければ、不成立であることも分かっている。
0197１３２人目の素数さん
2007/11/19(月) 20:00:37むしろ、今まで多くの人に知られずにいたのが不思議なくらいだ。
フェルマー予想のように有名な問題であってよかった筈だが。
0198１３２人目の素数さん
2007/11/23(金) 04:38:52a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t
93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42
>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et) となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……①
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……②
①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。
問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。
94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51
>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,
0199１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 05:10:35|a|,|b|,|c|<1のとき、(1)ab+1>a+b(2)abc+2>a+b+cを証明せよ。
という問題があり、この2つはゴリ押しで何とか解けたのですが
4文字以上の場合に繋がるような証明法がどうしても思いつきません。
|a1|,|a2|,・・・,|an|<1のとき、a1・a2・・・an+(n-1)>a1+a2+・・・+an
成り立つかどうかもわからないのですが、わかる方いましたらよろしくお願いします。
0200１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 10:00:000201１３２人目の素数さん
2007/11/28(水) 23:07:420202１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 21:24:010203１３２人目の素数さん
2007/12/31(月) 21:40:16Shapiro’s cyclic inequality for even n
を保存しようとした時、何か変なメッセージ
(Acrobat 8 がどうのこうのと言う）
が出た。そんな物持ってないのに普通に保存出来たが、問題あったかな？
0204 【吉】 【371円】
2008/01/01(火) 17:31:46って、まだ本当に未解決なのか？
0205１３２人目の素数さん
2008/01/01(火) 18:16:280206１３２人目の素数さん
2008/01/03(木) 17:26:12〔FKG不等式〕
f(x),g(x) を[a,b]上の単調増加（減少）な関数とすると
∫[a,b] f(x)dx・∫[a,b] g(y)dy ≦ (b-a)∫[a,b] f(x)g(x)dx,
FKG は C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre の頭文字らしい…
http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/18/double-integral2.pdf
0207１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 19:20:500208１３２人目の素数さん
2008/01/05(土) 20:13:19御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。
ハイテク筏かどうかは不明！
決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！
語学力（英語で充分）を磨こう！
目標は、７万語の語彙だ。
"Word Power Made Easy"http://www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！
尚、同書がきつい者（読みこなせない）者は「試験に出る英単語」を
もう一度とりだして、「完全に」マスターすることから始めよ！
某スレで恩大は、こうおっしゃっているので引用しる：－
Yo(余) ni dekita koto ga soch-tachi ni dekinai wake ga
arouka?!!!!
Onaji mana kutte doko tsugau(違う)！！！！
0209１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:32:49(x-y)(x-z)x^n + (y-z)(y-x)y^n + (z-x)(z-y)z^n ≧ 0
を証明せよ
これがわかりません
0210１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 10:50:210211１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 14:07:38問題設定おかしくね？
0212１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 18:44:40それを、普通はチェビシェフの不等式と言う。
積分版も同じ。
FKGかなんかしらんが、チェビシェフの不等式のパクリ。
0213１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 19:11:460214１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 19:40:39不等式の本といってよいものが存在する。
0215１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 19:49:520216１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 20:01:48でも定理の系や簡単な応用なのに名前をつけるのは、どうかと思う。
最初にやった人の功績は重要だが、それを統一化された現在では、
変てこな名前を言われるより、「チェビシェフの不等式」と言って
くれた方が十分通じるし、理解も早い。
0217１３２人目の素数さん
2008/01/06(日) 21:47:55最近は論文数を増やす為のパクリも多い。
0218１３２人目の素数さん
2008/01/16(水) 16:41:27http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
Shapiro's Cyclic Inequality is ture for all even n ≦ 12 and
odd n ≦ 23 (Mitrinovic et al. 1993).
0219１３２人目の素数さん
2008/01/16(水) 16:46:14http://www.hindawi.com/journals/jia/contents.html
0220１３２人目の素数さん
2008/01/16(水) 16:53:26"Shapiro’s cyclic inequality for even n",
Journal of Inequalities and Applications Volume 7 (2002),
Issue 3, Pages 331-348
http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164
Abstract
In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables.
All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12
and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies
the former result. The remaining case n=23 remains an open problem.
0221１３２人目の素数さん
2008/01/26(土) 23:22:02a,b,c は 0≦a,b,c<1 をみたす実数とする．また，
S = 3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca),
A = (3+a^2)a/(1+3a^2),
B = (3+b^2)b/(1+3b^2),
C = (3+c^2)c/(1+3c^2),
と定める。このとき，
A+B+C ≦ S < 3,
を示せ．(MASDA)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/155 ,168
東大入試作問者スレ１３
0222１３２人目の素数さん
2008/01/26(土) 23:27:05右側は
1 - S/3 = 3(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca) >0 より。
左側は
a = tanhα, b = tanhβ, c = tanhγ とおくと、tanhの加法公式より
S = 3tanh(α+β+γ),
A = tanh(3α),
B = tanh(3β),
C = tanh(3γ),
∴ tanhθy は θ≧0で上に凸だから、 A+B+C ≦ S.
ここに tanhθ = {e^θ -e^(-θ)}/{e^θ +e^(-θ)},
0223１３２人目の素数さん
2008/01/27(日) 03:00:310224１３２人目の素数さん
2008/01/28(月) 09:32:39このとき、次をしめせ。
det { ∫_[0→1] A(x) dx }^{-1} ≦ ∫_[0→1] { det A(x) }^{-1} dx．
ただし，∫_[0→1] A(x) dx = ( ∫_[0→1] a_{ij}(x) dx ) であり、det は行列式を表す。
0225１３２人目の素数さん
2008/01/28(月) 09:43:25訂正：A(x) はｎ次の「正定値」実対称行列です。
「正定値」がぬけていました。
0226１３２人目の素数さん
2008/01/28(月) 22:54:23簡単だからエレガントに頼むぜ、ブラザー！
0227１３２人目の素数さん
2008/01/29(火) 01:19:46レポート問題を人にやらせるなよｗ
0228１３２人目の素数さん
2008/01/29(火) 11:43:38高校の問題をレポートに出す大学って、教育学部？
0229１３２人目の素数さん
2008/01/30(水) 14:23:51私立の文系（受験科目に数学なし）の選択必修など沢山ある。
文系は高校の微積分も知らないし、私大だと中学の数学（今はゆとり教育で、
以前は中学の数学が今は高校でやるようになった）が怪しい奴が大勢いる。
不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変るのが分からない奴が
いるから。ゆとり教育はマジでやばい。
0230１３２人目の素数さん
2008/01/30(水) 14:55:30分数の計算すらまともにできない大学生が蔓延っている今の日本
不等号の向きがナンチャラカンチャラなんぞ知らない人がいることなんて
別に驚くにあたらないし、今に始まったことでもない
これが今の日本の現状
事実だ！これが現状だ！
目を背けるな！
そして、じゃあはたして僕らはどうしたらいいのだろうと・・・
日々自問自答を繰り返している
0231１３２人目の素数さん
2008/01/30(水) 16:02:1402321stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/01/30(水) 16:47:140233１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 01:23:200234１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 02:39:38私立大の文系ではほとんど入試科目に数学が無いから（最近は推薦やAO入試があるから
理系でもやばいけど）、一部の学生を除いて全然数学を勉強してきていない。
そういう奴らに数学を教えると、まあ易しいのをやれば大丈夫なのだが、そこで必ず
単位を落とすような奴が出てくる。よくよく問い詰めるとそういう奴は>>229や>>230
のように中学レベルの数学で落ちこぼれているんだから、救いようが無い。
私立のトップといわれるW大やKOでもそういう奴がいるそうだから、きついよ。
それにこれからもっとゆとり世代が入ってくるから、ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ。
手っ取り早い改善策は、とにかく入試問題に数学を課すことだ。
センターの数学でもいいからさ。
0235１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 08:53:16nを自然数とするとき
e-(1+1/n)^n＜e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。
0236１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 11:44:55よって与式は成り立たない
02371stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/01/31(木) 18:07:500238１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 18:49:06見かけによらず意外に難しい…
02391stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/01/31(木) 19:03:27Reply:>>235 e*(2*n)/(2*n+1)<(1+1/n)^n.
02401stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/01/31(木) 19:17:060241１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 21:01:57人の脳を読む能力を悪用する奴でも？
0242１３２人目の素数さん
2008/01/31(木) 21:52:20nとMは自然数で、1≦n＜Mを満たすとする。Q(n)を次のように定義する。
Q(n)＝Π[k＝0～n－1](1－k/M)＝(1－0/M)*(1－1/M)*(1－2/M)*…*(1－(n－1)/M)
また、非負の実数cに対して、
a＝{－(2c－1)＋√{(2c－1)^2＋8Mc}}/2 , b＝{1＋√{1＋8Mc}}/2
とおく。
(1)次を示せ。
・n≧bならばQ(n)≦e^(－c)である
・n≦aならばQ(n)≧e^(－c)である
・0≦b－a≦2cである
(2)nは自然数で、1≦n＜365とする。n人の人間のうち、誕生日が一致する
2人がいる確率をP(n)とおく。次を示せ。
・n≧42ならばPn≧1－e^(－2.3) (≒0.9)
・n≦39ならばPn≦1－e^(－2.3)
02431stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/02/02(土) 08:21:340244１３２人目の素数さん
2008/02/03(日) 05:05:280 ≦ d < 1 とする。
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
≦ -d -(1/2)d^2 -(1/4)d^3 -(1/8)d^4 - …… (等比級数)
= -2d/(2-d),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) ≦ -2/(2n+1),
n･log(1 +1/n) ≧ 2n/(2n+1) = 1 - 1/(2n+1),
あとは exp( ) するだけ。
(1 +1/n)^n ≧ e･exp(-1/(2n+1)) ≧ e{1 - 1/(2n+1)},
0245１３２人目の素数さん
2008/02/04(月) 12:15:20nを自然数とするとき
e･exp(-1/(2n+2)) > (1+1/n)^n > e･exp(-1/(2n+1)),
が成り立つことを示せ。
0246１３２人目の素数さん
2008/02/04(月) 12:22:50右側は >244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - ……
≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - …… (等比級数)
= -d -(d^2)/(2(1-d))
= -d(2-d)/(2(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)),
n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2),
あとは exp( ) するだけ。
0247１３２人目の素数さん
2008/02/05(火) 11:50:54nを自然数とするとき
e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1),
が成り立つことを示せ。
0248１３２人目の素数さん
2008/02/05(火) 12:20:13右側は >244
左側も同様に
log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - ……
> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… ) (等比級数)
= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)),
これに d = 1/(n+1) を代入すると
-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1))
> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2),
= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)},
n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2)
≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1)) (← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) )
< 1 + log(1 -1/(2n+2)), ( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入)
あとは exp( ) するだけ。
(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)},
0249１３２人目の素数さん
2008/02/05(火) 18:15:11同じ問題はいいよ。つまんねえ
0250１３２人目の素数さん
2008/02/06(水) 03:28:54nが大きいとき、マクローリン展開して
n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + …}
= 1 -1/(2n) +1/(3n^2) -1/(4n^3) +1/(5n^4) - …,
(1 +1/n)^n = e{1 -1/(2n) +11/(24n^2) -21/(48n^3) +2447/(5760n^4) - …},
{e - (1 +1/n)^n}/e = 1/(2n) -11/(24n^2) +21/(48n^3) -2447/(5760n^4) + …,
e/{e - (1+1/n)^n} -2n = 2n/{1 -11/(12n) + 21/(24n^2) -2447/(2880n^3) + …} -2n
= 2n{1 +11/(12n) -5/(144n^2) +17/(1080n^3) -… } -2n
= 11/6 -5/(72n) + 17/(540n^2) - … → 11/6, (n→∞)
e - (1+1/n)^n ≒ e/(2n +11/6). (n>> 1)
0251１３２人目の素数さん
2008/02/06(水) 09:31:57まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。
指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的
であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。
ここの「証明」は全部循環論法。
e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。
0252１３２人目の素数さん
2008/02/06(水) 12:27:04君が知らないだけで。定義も書かないで251みたいな事を書くのはナンセンス。
まあ>>249には大体同意。
0253１３２人目の素数さん
2008/02/06(水) 23:24:48それ、数学科の微積分じゃなくて、高校の微積分って言った方が正しいと思うよｗ
0254１３２人目の素数さん
2008/02/08(金) 17:59:08f を開区間 (a,b) の C^2 級関数とするとき，次の不等式を示せ．
∫^b_a |f ' (x)|^2 dx ≦ 54 [ 1/(b-a)^2 ∫^b_a |f(x)|^2 dx + (b-a)^2 ∫^b_a |f ' ' (x)|^2 dx ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています