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不等式への招待第３章

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0001１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:00:00

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000

0002１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:02:00

不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
　　http://amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 http://amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X

0003１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:03:00

不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　http://rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　http://www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　http://imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　http://mathworld.wolfram.com/

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html

0004１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 05:38:57

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　　　　　　　,.'7'::::::::::::::::!:::::｀ヽ.
　　　　　　 /::::!:::::::::::::::::::!:::::::::::::i
　　　　　　,.!:::::i:::::::o:::::::_」:::_;;:::: ) （､
　　　　　./｀.７-i-ｒ‐ r‐ 'i_!　!ﾊ　⌒　ヽ.
　　　　　i　　!/!,_,ﾊ_ﾊ,.-' -‐'‐ i__!　i. 　',
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　　　　　　!.　ﾊ"　　　 '___　　くン､/'´　　　　　　乙でございます
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　 r-､　　　　　　 _,く｀' ｰｒr-'":::::〈ヽ､.__
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0005１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 09:34:59

Cinco!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

0006１３２人目の素数さん

2007/05/13(日) 09:38:09

sex

0007１３２人目の素数さん

2007/05/19(土) 19:39:52

>>992
とっとと落せ？

0008１３２人目の素数さん

2007/05/24(木) 12:22:16

任意の正の実数x、y、zに対して次の不等式が成立する実数wの最大値を求めよ。

√（x／（y＋z））＋√（y／（z＋x））＋√（z／（x＋y））＞w

0009１３２人目の素数さん

2007/05/24(木) 21:13:03

x=1≦y≦z としてよい
y+z=k(≧2)とすると、kが一定ならy=1の時が最小値f(k)をとり、
f(k)は単調減少で、f(k)→2 (k→∞)
よってw=2

0010１３２人目の素数さん

2007/05/29(火) 14:10:59

nを2以上の整数とするとき
((n+1)^(1+(1/n))-n^(1+(1/n)))/((n+1)^(n+1)-n^(n+1))^n)^(1/n)>1/n
を示せ

0011１３２人目の素数さん

2007/05/29(火) 14:36:46

>>10
ちんｽﾚの人？
答えが必要な訳じゃないんだよね？

0012１３２人目の素数さん

2007/05/29(火) 23:08:13

>>10
帰納法でいけるか

0013１３２人目の素数さん

2007/05/30(水) 04:10:25

正の数 x、y が x+y+xy=1 をみたすとき、1/x + 1/y + 1/(x+y) のとりうる値の範囲を求めよ。

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

0014１３２人目の素数さん

2007/05/30(水) 05:16:12

発掘しますた！
つ http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/old_problems/old_problems.pdf

19 はどうやるんでしょう？
27 は三角関数ヲタ向け？

0015１３２人目の素数さん

2007/05/30(水) 05:27:16

C844、M1764、C846、C847、M1769、C851、C854、C855 に (；´Д｀)'`ｧ'`ｧ
http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html

たぶん、The American Mathematical Monthly (http://www.maa.org/) って雑誌の問題だと思う。
うちのDQN底辺大学の図書館、2007年度から購読を止めたので読めなくなった…。
ド田舎だから、県内に他に理系大学ないから、もう読めないぜ…
定期購読するしかないのか？

0016１３２人目の素数さん

2007/05/30(水) 22:56:41

>8
　√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ≧ (√x + √y + √z)^2 / [√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}] > 2.

(略証)
左側:
　コーシーで簡単。
右側:
　x, y ≦ z としてもよい。
　f(z') = √z' のグラフは上に凸だから、接線の下側にある。
　√(z+y) < √{z+y+(y^2)/(4z)} = √z + y/(2√z) < √z + (√y)/2,
　√(z+x) < √{z+x+(x^2)/(4z)} = √z + x/(2√z) < √z + (√x)/2,
　√{z(x+y)} < {(x+y)+z}/2,　　(← 相加･相乗平均)
これらに √x, √y, 1 を掛けてたすと、
　√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √z(x+y)} < √(zx) + √(zy) + √(xy) + (x+y+z)/2 = (1/2)(√x + √y + √z)^2,
よって上式を得る。　(終)

ハｧハｧ　ゼｪゼｪ…

0017１３２人目の素数さん

2007/05/31(木) 00:56:20

>13
x+y=s, xy=t とおく(基本対称式),
　題意より s+t=1, s>0, t>0,
　絶対不等式　s^2 -4t = (x-y)^2 ≧0,
より
　0.828427… = 2(√2 -1) ≦ s < 1,
　(与式) = s/t + 1/s = s/(1-s) + 1/s = 1/{s(1-s)} -1 ≧ 5(1+√2)/2 = 6.0355339…
　等号は x = y = s/2 = √2 -1 のとき。

0018１３２人目の素数さん

2007/05/31(木) 10:48:17

実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。

(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3

0019１３２人目の素数さん

2007/06/01(金) 00:29:33

>>18
(右辺)-(左辺)=(xy+yz+zx)^2(x^2 + y^2 + z^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)≧0
より不等式は成立。
この表式より，等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z=0 だが，まとめると xy+yz+zx=0

0020１３２人目の素数さん

2007/06/01(金) 01:03:57

>14
[19.] Series involving e. Find the sum of the following series:
Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^n}

n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +O(1/n^3)} = 1 -1/(2n) +O(1/n^2),
(1 +1/n)^n = e*{1 -1/(2n) +O(1/n^2)},
e -(1 +1/n)^n = e/(2n) + O(1/n^2).　
(e/2)Σ 1/n ～ (e/2)log(n)　より対数発散…

蛇足だが、↓ならば収束すると思われ…
　Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^(n +1/2)}

0021１３２人目の素数さん

2007/06/01(金) 21:58:36

>>16
> 左側:
> 　コーシーで簡単。

シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？

0022１３２人目の素数さん

2007/06/01(金) 21:59:37

>>16
> 左側:
> 　コーシーで簡単。

シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？

0023１３２人目の素数さん

2007/06/01(金) 23:29:44

>19 には負領域がない。ゼロ面(node)は↓

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179324003/921-922
さくらスレ２１７

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180169999/64, 109
さくらスレ２１８

>21-22
　ま～たまた…

0024１３２人目の素数さん

2007/06/01(金) 23:36:54

>>23
解説してね。

0025１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 00:00:26

>>23
解説してよん

0026１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 04:18:27

ｷﾓ

0027１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 04:24:38

>>24-26
荒らしは自重しましょう

0028１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 06:38:36

>>16
左側の証明が分からないのでお願いします。

0029１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 11:43:22

知恵遅れはこのスレに来るなよ。目障り

0030１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 12:16:19

>29 荒らすなよ．このスレでは仲良くしろ．
>23 性格変わった？意地悪せずに答えてやれよ．俺が分かるなら答えてやるんだけど．

0031１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 12:55:10

つ Cauchy-Schwarzの不等式 (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) ≧ (ax+by+cz)^2

[√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ]・[√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}]
　≧ (√x + √y + √z)^2

不等式ヲタは仲良くしよう ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

0032１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 13:11:00

a_1,a_2,a_3,・・・・a_n のk次基本対称式をe_k (k=1,2,...n)

F(k)≡(e_k/nCk)^(1/k)　とするとき

F(k)≧F(k+1)

0033１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 13:27:45

>>32
まとめwikiの過去スレミラーから探せ。

0034１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 15:13:37

>32
　a_1,a_2,…,a_n >0 のとき、…

* nに関する帰納法
　Part1 の 257, 263(1), 269, 271
　数セミ増刊「数学の問題 = 第①集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(本文)

* 対称式, Muirhead
　第２章の 800, 810-818
　http://www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html

* 微分法
　Part.1 の 480-481
　数セミ増刊「数学の問題 = 第①集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(追補)
　E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete", Band 30, Springer-Verlag, Berlin (1961) p.11

003523

2007/06/02(土) 15:27:17

>24-25
　亀レスだが…

Q.　ゼロ面(node) xy+yz+zx =0 はどんな形?

A.　座標軸を回して Z=(x+y+z)/√3 とし、(X,Y,Z)で直交系をなすようにすれば
　xy+yz+zx = {(x+y+z)^2 -x^2 -y^2 -z^2}/2 = {3Z^2 -X^2 -Y^2 -Z^2}/2 = Z^2 -(X^2 +Y^2)/2,
　よって、円錐面で、主軸はZ軸すなわち x+y+z の方向。

0036１３２人目の素数さん

2007/06/02(土) 18:31:58

>>35
ﾅﾙﾎﾄﾞﾅｰ

003716

2007/06/02(土) 21:30:14

>21-22,28

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/
シュワちゃんスレ

0038１３２人目の素数さん

2007/06/03(日) 11:25:41

>8
　√{z/(x+y)} = z/√{z(x+y)} > 2z/{(x+y)+z},　　　(← 相乗･調和平均)
循環的にたす.

0039１３２人目の素数さん

2007/06/03(日) 12:20:48

>>8
見事。

0040１３２人目の素数さん

2007/06/03(日) 19:53:07

>>38
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

0041１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 03:02:02

>15

[C.851]
　b^2 +c^2 +bc = (3/4)(b+c)^2 + (1/4)(b-c)^2 ≧ (3/4)(b+c)^2,
　a√(b^2 +c^2 +bc) ≧ {(√3)/2}(ab+ca),
循環的にたす。

[C.844]
Σ[k=1,n] 1/k -γ -log(n) = ε(n) とおくと,
Σ[n=1,N] ε(n)/n = log(N)ε(N) + (1/2)ε(N)^2 - (1/2)γ^2 + (1/2)Σ[n=1,N] (1/n^2) + {(1/2)log(N)^2 - Σ[k=1,N] log(k)/k }
　→　-(1/2)γ^2 + (1/2)ζ(2) - L　(N→∞).

0042１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 15:02:00

何者だ一体？
すげー実力ｗ

0043１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 17:59:41

照れるぜ・・・

0044１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 18:26:30

>>42
不等式マニア

0045１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 18:37:23

>>42
不等式ヲタは共同体で連続体で群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだYO！

0046１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 18:46:09

恒等式ヲタ出現きぼん

0047１３２人目の素数さん

2007/06/04(月) 21:51:55

実数x,y,zについて以下の不等式が成り立つことを示せ。また、等号成立条件を求めよ。

　(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (xy+yz+zx)^3 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3.

0048１３２人目の素数さん

2007/06/05(火) 01:12:09

>15

[C.846]
　(1/n)Σ[k=1,n] {C[n,k]}^(-k) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2).

(略解)
・n=1,2 は直接確かめる。
・n≧3 のとき、k=n の項だけ残す。
　n^2 ≦ 2^(n+1),
　n+1 ≦ 2^(n-1),
　(左辺) ≧ 1/n ≧ (1/2)^((n+1)/2) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2) = (右辺).

0049１３２人目の素数さん

2007/06/05(火) 01:52:56

>>47
(右辺)-(左辺)=(3/2)(xy+yz+zx)^2((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
より不等式は成立。
等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z

0050１３２人目の素数さん

2007/06/05(火) 02:32:32

>>15　 [C854]
H_k=∫[0,1]Σ[j=0,k-1]t^j dt=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt
n!/Π[j=0,n](k+j)=Γ(n+1)Γ(k)/Γ(n+k+1)=Β(k,n+1)=∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
これらから
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
=[∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dt]_[x=0,1]
部分積分を使うことで
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
　+∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
を得る。
kについてこれらの和を取る。(極限の順序交換の大雑把さは大目に見てください)
Σ[k=1,∞]∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x] Σ[k=1,∞] {t^k-(tx)^k}/{t(1-x)}*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x](1-t)^(n-1)/(1-tx) dtdx
=∫[0,1]∫[t,1](1-t)^(n-1)/(1-tx) dxdt (積分の順序交換)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt
同様に
Σ[k=1,∞]∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
=-∫[0,1]log(1-x^2)*(1-x)^(n-1)/x dx
=-∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt (変数をtに書き換えた)

以上から
Σ[k=1,∞]H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt -∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt
=-∫[0,1]log(1-t)*(1-t)^(n-1)/t dt
=∫[0,∞]y*e^(-ny)/{1-e^(-y)} dy ( y=-log(1-t) と変数変換)
=∫[0,∞]Σ[j=n,∞]y*e^(-jy) dy
=Σ[j=n,∞]1/j^2=π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2
ゆえ
Σ[k=1,∞]H_k/Π[j=0,n](k+j)=1/(n!)*{π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2}

0051１３２人目の素数さん

2007/06/05(火) 04:11:21

凄い！こんなにガンガン解ければ楽しいだろうな…

A.422、B.3987、B.3989、C.892 （C.892は昔、入試問題で解いたような…）
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en
A.425、B.3997、B.4000
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200704&t=mat&l=en

0052１３２人目の素数さん

2007/06/05(火) 23:57:18

三角関数の問題
△ABCが sin2A/5 = sin2B/4 = sin2C/3 をみたすとき、 Aの値を求めよ。

問54_3
http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai06-07.html

0053１３２人目の素数さん

2007/06/06(水) 01:32:46

>52
　A,B,C は同時に鋭角、直角または鈍角。
　3つとも鈍角、直角は不合理なので、鋭角3角形。
　A=arctan(1)=45ﾟ, B=arctan(2),　C=arctan(3).

0054１３２人目の素数さん

2007/06/06(水) 13:40:18

何所が不等式や

0055１３２人目の素数さん

2007/06/06(水) 16:42:24

>54
ﾊｧﾊｧできればいいのさ
>53
過程がよくワカリマセン

0056１３２人目の素数さん

2007/06/07(木) 01:28:47

>>15　 [C.854]　別法

　S_n = (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)……(k+n)]　とおき、
　S_1 = (π^2)/6 と S_n - S_(n+1) = 1/(n^2)　から
　S_n = (π^2)/6 -1 -1/(2^2) - … - 1/{(n-1)^2}
を示す。

S_1 = Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)]
　　= Σ[k=1,∞) (H_k){1/k - 1/(k+1)}
　　= Σ[k=1,∞) {(H_k)/k - H_(k-1)/k}　　　　　　　　(← H_0 = 0 )
　　= Σ[k=1,∞) 1/(k^2)
　　= ζ(2)
　　= (π^2)/6.

S_n - S_(n+1) = Σ[k=1,∞) (H_k){ (n!)/[k(k+1)…(k+n)] - (n+1)!/[k(k+1)…(k+n+1)] }
　　= (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[(k+1)……(k+n+1)]
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (H_k){1/[(k+1)…(k+n)] - 1/[(k+2)…(k+n+1)] }
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) { (H_k)/[(k+1)…(k+n)] - H_(k-1)/[(k+1)…(k+n)] }　　(← H_0 =0)
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) 1/[k(k+1)…(k+n)]
　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (1/n){ 1/[k(k+1)…(k+n-1)] - 1/[(k+1)…(k+n)] }
　　= (n-1)!(1/n)(1/n!)
　　= 1/(n^2).

0057１３２人目の素数さん

2007/06/07(木) 21:52:14

>51 上

[A.422]
Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1).
Prove that
　Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]},
(略解)
(左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)}　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積)
　　≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}　　　　　　　(← コーシー)
　　= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}
　　= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]}
　　= (右辺).

[B.3989]
　a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4.
　Prove that a+b+c ≦ 3.
(略解)
　1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。
　3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4)
　= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c)
　= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c)
　≧ a(1-b)(1-c).

[C.892]
Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions
　 1/(1+x+xy),　y/(1+y+yz),　xz/(1+z+xz)
cannot all be greater than 1/3.
(略解)
　 1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) =　z/(1+z+xz),
　xy/(1+x+xy) =　y/(1+y+yz) =　1/(1+z+xz),
　 x/(1+x+xy) =　1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz),
辺々たす.

0058１３２人目の素数さん

2007/06/07(木) 21:58:46

>51 下

[B.3997]
　x,y,z are real numbers.　Prove that if xyz=u, then
　x^4 + y^4 + z^4 + x^2･y^2 + y^2･z^2 + z^2･x^2 ≧ 2u(x+y+z).

(略解)
　(左辺) - (右辺) = (1/2)(x^2 -y^2)^2 + (1/2)(y^2 -z^2)^2 + (1/2)(z^2 -x^2)^2
　　　　　　　　　+ (x^2)(y-z)^2 + (y^2)(z-x)^2 + (z^2)(x-y)^2.

ハァハァ

0059１３２人目の素数さん

2007/06/07(木) 22:47:53

>>57
[C.892]の解答みて思い出した。
俺はこの問題を解いて（いや解けずに答えを見て）、
不等式の世界に入ったんだ（いや囚われの身になったんだ）！
ﾊｧﾊｧ・・・

0060１３２人目の素数さん

2007/06/08(金) 15:06:36

以前あった問題
a,b,c>0
ab+bc+ca=1で
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2a^2)/(c+a)^2≧5/2
を誰か解決してくれ。もうノート２冊分くらいぐるぐるしてる。
ちなみにいじってるうちに
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(a-b)^2/(a+b)^2+(b-c)^2/(b+c)^2+(c-a)^2/(c+a)^2
と同値とか、わきにそれてばかりいる。

大体、２文字対称不等式だと、大抵そんなむずかしくはないし、使う式も大体
決まってるんだが、どうも、３文字対称不等式はめんどくさい。誰か解いてくれ。
それから、不等式もそろそろ分類してもいい頃あいだと思うんだが、、、。
むずかしそうで、ルーチンで解ける物、それ以外（これが多いから収集したりする
訳だが、、、）。

結局、相加相乗平均を使うだけの問題も多いと思う。

0061１３２人目の素数さん

2007/06/08(金) 16:44:59

対称不等式だから
(1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2　＋　a^2)/(c+a)^2≧5/2
でいいんだよな

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t^2+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t^2+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t^2+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す
t^2+a^2+b^2=t^2-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t^2-2ab)/(a+b)^2+(t^2-2bc)/(b+c)^2+(t^2-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値
左辺=f/(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2とすれば、根性で対称式で書いて
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su)
st-u≧0は容易、
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件
s^2-3t≧0はその解がすべて０以上の条件で、終り

間違ってるかもしれん。正しい／いい解法は実力者を待て

0062１３２人目の素数さん

2007/06/08(金) 16:55:22

18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0と
s^2-3t≧0
合わせて実数解条件だったかもしれん
正の解の条件ではないな、
まあなんか本を見ておくれ

0063１３２人目の素数さん

2007/06/08(金) 17:07:40

手許にあった論文
a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う）
によると
18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ
s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
は理くつ不要だった

スレ汚しすまん

0064１３２人目の素数さん

2007/06/08(金) 17:13:51

18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s　＾３　u
なんかボロボロorz

0065１３２人目の素数さん

2007/06/08(金) 19:30:22

またt^2とか間違いを見つけたので直したの貼り直しときます

a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて
(t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4
を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば
(t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。
左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、
4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2
=4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u)
と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた）
ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、
st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、
D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は
３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で
a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている
等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。

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不等式への招待 第３章

不等式への招待第３章