不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0002１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:02:00[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7] 数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
http://amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X
0003１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:03:00[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KöMaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
0004１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:38:57,.'7'::::::::::::::::!:::::｀ヽ.
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./｀.７-i-ｒ‐ r‐ 'i_! !ﾊ ⌒ ヽ.
i !/!,_,ﾊ_ﾊ,.-' -‐'‐ i__! i. ',
! i !.´ __､ ',.-- ､ i i i !
｀'7ヽ!.'´ ｀ "ﾉ / i ｲ
!. ﾊ" '___ くン ､/'´ 乙でございます
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0005１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 09:34:590006１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 09:38:090007１３２人目の素数さん
2007/05/19(土) 19:39:52とっとと落せ？
0008１３２人目の素数さん
2007/05/24(木) 12:22:16√（x／（y＋z））＋√（y／（z＋x））＋√（z／（x＋y））＞w
0009１３２人目の素数さん
2007/05/24(木) 21:13:03y+z=k(≧2)とすると、kが一定ならy=1の時が最小値f(k)をとり、
f(k)は単調減少で、f(k)→2 (k→∞)
よってw=2
0010１３２人目の素数さん
2007/05/29(火) 14:10:59((n+1)^(1+(1/n))-n^(1+(1/n)))/((n+1)^(n+1)-n^(n+1))^n)^(1/n)>1/n
を示せ
0011１３２人目の素数さん
2007/05/29(火) 14:36:46ちんｽﾚの人？
答えが必要な訳じゃないんだよね？
0012１３２人目の素数さん
2007/05/29(火) 23:08:13帰納法でいけるか
0013１３２人目の素数さん
2007/05/30(水) 04:10:25( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
0014１３２人目の素数さん
2007/05/30(水) 05:16:12つ http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/old_problems/old_problems.pdf
19 はどうやるんでしょう？
27 は三角関数ヲタ向け？
0015１３２人目の素数さん
2007/05/30(水) 05:27:16http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
たぶん、The American Mathematical Monthly (http://www.maa.org/) って雑誌の問題だと思う。
うちのDQN底辺大学の図書館、2007年度から購読を止めたので読めなくなった…。
ド田舎だから、県内に他に理系大学ないから、もう読めないぜ…
定期購読するしかないのか？
0016１３２人目の素数さん
2007/05/30(水) 22:56:41√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ≧ (√x + √y + √z)^2 / [√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}] > 2.
(略証)
左側:
コーシーで簡単。
右側:
x, y ≦ z としてもよい。
f(z') = √z' のグラフは上に凸だから、接線の下側にある。
√(z+y) < √{z+y+(y^2)/(4z)} = √z + y/(2√z) < √z + (√y)/2,
√(z+x) < √{z+x+(x^2)/(4z)} = √z + x/(2√z) < √z + (√x)/2,
√{z(x+y)} < {(x+y)+z}/2, (← 相加･相乗平均)
これらに √x, √y, 1 を掛けてたすと、
√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √z(x+y)} < √(zx) + √(zy) + √(xy) + (x+y+z)/2 = (1/2)(√x + √y + √z)^2,
よって上式を得る。 (終)
ハｧハｧ ゼｪゼｪ…
0017１３２人目の素数さん
2007/05/31(木) 00:56:20x+y=s, xy=t とおく(基本対称式),
題意より s+t=1, s>0, t>0,
絶対不等式 s^2 -4t = (x-y)^2 ≧0,
より
0.828427… = 2(√2 -1) ≦ s < 1,
(与式) = s/t + 1/s = s/(1-s) + 1/s = 1/{s(1-s)} -1 ≧ 5(1+√2)/2 = 6.0355339…
等号は x = y = s/2 = √2 -1 のとき。
0018１３２人目の素数さん
2007/05/31(木) 10:48:17(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3
0019１３２人目の素数さん
2007/06/01(金) 00:29:33(右辺)-(左辺)=(xy+yz+zx)^2(x^2 + y^2 + z^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)≧0
より不等式は成立。
この表式より，等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z=0 だが，まとめると xy+yz+zx=0
0020１３２人目の素数さん
2007/06/01(金) 01:03:57[19.] Series involving e. Find the sum of the following series:
Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^n}
n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +O(1/n^3)} = 1 -1/(2n) +O(1/n^2),
(1 +1/n)^n = e*{1 -1/(2n) +O(1/n^2)},
e -(1 +1/n)^n = e/(2n) + O(1/n^2).
(e/2)Σ 1/n ～ (e/2)log(n) より対数発散…
蛇足だが、↓ならば収束すると思われ…
Σ[n=1,∞) {e -(1 +1/n)^(n +1/2)}
0021１３２人目の素数さん
2007/06/01(金) 21:58:36> 左側:
> コーシーで簡単。
シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？
0022１３２人目の素数さん
2007/06/01(金) 21:59:37> 左側:
> コーシーで簡単。
シュワちゃんをつかうと、分子は (x+y+z)^2 にならないですか？
0023１３２人目の素数さん
2007/06/01(金) 23:29:44http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179324003/921-922
さくらスレ２１７
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1180169999/64, 109
さくらスレ２１８
>21-22
ま～たまた…
0024１３２人目の素数さん
2007/06/01(金) 23:36:54解説してね。
0025１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 00:00:26解説してよん
0026１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 04:18:270027１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 04:24:38荒らしは自重しましょう
0028１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 06:38:36左側の証明が分からないのでお願いします。
0029１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 11:43:220030１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 12:16:19>23 性格変わった？意地悪せずに答えてやれよ．俺が分かるなら答えてやるんだけど．
0031１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 12:55:10[√{x/(y+z)} + √{y/(z+x)} + √{z/(x+y)} ]・[√{x(y+z)} + √{y(z+x)} + √{z(x+y)}]
≧ (√x + √y + √z)^2
不等式ヲタは仲良くしよう ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
0032１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 13:11:00F(k)≡(e_k/nCk)^(1/k) とするとき
F(k)≧F(k+1)
0033１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 13:27:45まとめwikiの過去スレミラーから探せ。
0034１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 15:13:37a_1,a_2,…,a_n >0 のとき、…
* nに関する帰納法
Part1 の 257, 263(1), 269, 271
数セミ増刊「数学の問題 = 第①集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(本文)
* 対称式, Muirhead
第２章の 800, 810-818
http://www.ams.org/proc/2004-132-09/S0002-9939-04-07384-8/home.html
* 微分法
Part.1 の 480-481
数セミ増刊「数学の問題 = 第①集」日本評論社 (1977/02) No.21 の解説(追補)
E.F.Beckenbach and R.Bellman: "Inequalities, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete", Band 30, Springer-Verlag, Berlin (1961) p.11
003523
2007/06/02(土) 15:27:17亀レスだが…
Q. ゼロ面(node) xy+yz+zx =0 はどんな形?
A. 座標軸を回して Z=(x+y+z)/√3 とし、(X,Y,Z)で直交系をなすようにすれば
xy+yz+zx = {(x+y+z)^2 -x^2 -y^2 -z^2}/2 = {3Z^2 -X^2 -Y^2 -Z^2}/2 = Z^2 -(X^2 +Y^2)/2,
よって、円錐面で、主軸はZ軸 すなわち x+y+z の方向。
0036１３２人目の素数さん
2007/06/02(土) 18:31:58ﾅﾙﾎﾄﾞﾅｰ
003716
2007/06/02(土) 21:30:14http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/
シュワちゃんスレ
0038１３２人目の素数さん
2007/06/03(日) 11:25:41√{z/(x+y)} = z/√{z(x+y)} > 2z/{(x+y)+z}, (← 相乗･調和平均)
循環的にたす.
0039１３２人目の素数さん
2007/06/03(日) 12:20:48見事。
0040１３２人目の素数さん
2007/06/03(日) 19:53:07(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0041１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 03:02:02[C.851]
b^2 +c^2 +bc = (3/4)(b+c)^2 + (1/4)(b-c)^2 ≧ (3/4)(b+c)^2,
a√(b^2 +c^2 +bc) ≧ {(√3)/2}(ab+ca),
循環的にたす。
[C.844]
Σ[k=1,n] 1/k -γ -log(n) = ε(n) とおくと,
Σ[n=1,N] ε(n)/n = log(N)ε(N) + (1/2)ε(N)^2 - (1/2)γ^2 + (1/2)Σ[n=1,N] (1/n^2) + {(1/2)log(N)^2 - Σ[k=1,N] log(k)/k }
→ -(1/2)γ^2 + (1/2)ζ(2) - L (N→∞).
0042１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 15:02:00すげー実力ｗ
0043１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 17:59:410044１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 18:26:30不等式マニア
0045１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 18:37:23不等式ヲタは共同体で連続体で群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだYO！
0046１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 18:46:090047１３２人目の素数さん
2007/06/04(月) 21:51:55(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)^2 + (xy+yz+zx)^3 ≦ (x^2 + y^2 + z^2)^3.
0048１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 01:12:09[C.846]
(1/n)Σ[k=1,n] {C[n,k]}^(-k) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2).
(略解)
・n=1,2 は直接確かめる。
・n≧3 のとき、k=n の項だけ残す。
n^2 ≦ 2^(n+1),
n+1 ≦ 2^(n-1),
(左辺) ≧ 1/n ≧ (1/2)^((n+1)/2) ≧ {(n+1)/(2^n)}^((n+1)/2) = (右辺).
0049１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 01:52:56(右辺)-(左辺)=(3/2)(xy+yz+zx)^2((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
より不等式は成立。
等号成立条件は xy+yz+zx=0 または x=y=z
0050１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 02:32:32H_k=∫[0,1]Σ[j=0,k-1]t^j dt=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt
n!/Π[j=0,n](k+j)=Γ(n+1)Γ(k)/Γ(n+k+1)=Β(k,n+1)=∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
これらから
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,1]t^(k-1)*(1-t)^n dt
=[∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dt]_[x=0,1]
部分積分を使うことで
H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
+∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
を得る。
kについてこれらの和を取る。(極限の順序交換の大雑把さは大目に見てください)
Σ[k=1,∞]∫[0,1](1-x^k)/(1-x)∫[0,x]t^(k-1)*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x] Σ[k=1,∞] {t^k-(tx)^k}/{t(1-x)}*(1-t)^n dtdx
=∫[0,1]∫[0,x](1-t)^(n-1)/(1-tx) dtdx
=∫[0,1]∫[t,1](1-t)^(n-1)/(1-tx) dxdt (積分の順序交換)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt
同様に
Σ[k=1,∞]∫[0,1]∫[0,x](1-t^k)/(1-t) dt*x^(k-1)*(1-x)^n dx
=-∫[0,1]log(1-x^2)*(1-x)^(n-1)/x dx
=-∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt (変数をtに書き換えた)
以上から
Σ[k=1,∞]H_k*n!/Π[j=0,n](k+j)
=∫[0,1]log(1+t)*(1-t)^(n-1)/t dt -∫[0,1]log(1-t^2)*(1-t)^(n-1)/t dt
=-∫[0,1]log(1-t)*(1-t)^(n-1)/t dt
=∫[0,∞]y*e^(-ny)/{1-e^(-y)} dy ( y=-log(1-t) と変数変換)
=∫[0,∞]Σ[j=n,∞]y*e^(-jy) dy
=Σ[j=n,∞]1/j^2=π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2
ゆえ
Σ[k=1,∞]H_k/Π[j=0,n](k+j)=1/(n!)*{π^2/6-Σ[j=1,n-1]1/j^2}
0051１３２人目の素数さん
2007/06/05(火) 04:11:21A.422、B.3987、B.3989、C.892 （C.892は昔、入試問題で解いたような…）
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200703&t=mat&l=en
A.425、B.3997、B.4000
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200704&t=mat&l=en
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