と、思ったんですけどやっぱり複素構造になっている気がします。

もうすこし正確に書くと、
二乗根w=√(z)によって
単位円（|z|<1）と上半円（|w|<1、0≦arg(w)＜π）
が一対一に対応しているので
この上半円と、頂点の近傍の錐を同一視し、座標z=w^2を与えるとします。
これは同相写像ですよね？