>>13で既出な質問なんですけど、俺も全く同じところでつまずいた上に
まだ回答が得られていないので質問させてください。

私もやはり
(Ⅰ)g_{ij}=g(∂/∂Z_i，∂/∂Z~_j)
とした場合、つねにg_{ij}=0となってしまい、どうにも意味が分かりません。

定義では
まず点x∈Ｘでの2n次元実ベクトル束TXにリーマン計量gで
（ＩＩ）　g(a,b)=g(Ja,Jb)　J:概複素構造
を満たすものを考え
これをTXの複素化＝ＴＸ(×)Ｃに拡張（第一成分線形、第二成分共役線形）
し、さらにT'Xへ制限たものをＸのHermite計量とするとされています。

T'X自体は∂/∂Z_i(i=1,2,…)で（Ｃ上）張られ、
TXは∂/∂Z_iと∂/∂Z~_j(i,j=1,2,…)で張られているので
(Ｉ)におけるgはＴ'ＸではなくＴＸのHermite内積ということになるのですが
（ＩＩ）をもちいて定義どおりに計算すると、０になってしまいます。
（Ｉ）をg_{ij}=g(∂/∂Z_i，∂/∂Z_j)と解釈すれば、納得はいくのですが・・・