小林昭七「複素幾何」P110のところでわからないところが出ました。

Hermite 多様体 (X,g) で、
　　　g_{ij}=g(∂/∂x_i，∂/∂x~_j)
として，基本二次微分形式
　　　Φ=i 波_{ij}dz_i∧dz~_j
と定義します．ここで，e_1，…，e_n を TX の正規直行局所枠，
θ^1，…，θ^n をその双対枠としたとき
　　　Φ=i 買ﾆ^i∧θ~^j
となるとあるのですが，なぜこんなことになるのかどう考えてもわかりません．
g_{ij} もなぜか消えてしまっていますし，いったいどうやって計算すればこんな等号が成り立つのですか？
P148ではθ^i＝dz_i/√2ととってきているのですが，これじゃ上の等号は成り立つはずないですよね．