>x≧0の時logxが収束すればxは収束と言えるのでしょうか？

これはいい質問だね。　たいていの教科書や高校の先生はごまかす。

log　が　x＞0で全単射（一対一）、連続で単調増加だからいえること。
詳しくは大学でやる知識が必要になる。