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前者は距離です。
集合に距離を入れれば距離空間になり、距離をいれれば、自動的に位相もはいりあます。

内積空間については、そりゃそうです。
ですから、距離をノルムという言い方をするわけです。
元同士の「近さ」をあらわす尺度を「ノルム」といいなおすわけです。直感的には「距離」です。
直感的に「距離」だと考えられるわけですから、距離の概念の入ったベクトル空間を「計量ベクトル空間」などといったりするわけですね。