I＝[0,1]の部分集合Aで、次の条件を満たすものが存在する。(疎な集合＝no where dense setを知らない人はググレ)
・Aは疎な閉集合である(i,e Aは内点を持たない閉集合)。
・Aは正のルベーグ測度を持つ。

構成法：Iの有理数全体(可算個)に番号をつけてp1,p2,…とする。次いで、rn＝min{pn,1−pn,1/10^n}/2と
おく。On＝(pn−rn,pn＋rn)とすれば、rnの定義からOn⊂Iとなっている。O＝∪[k＝1〜∞]Ok⊂Iとすれば、
A＝I−Oが求める集合の一例になっている。

Aが疎な閉集合であること：Oは開集合で、I上の全ての有理数を含む。よって、Aは閉集合で、I上の有理数を
1つも含まず、特に、Aは内点を持たない。

Aの測度が正であること：測度を|*|で表すことにして、|A|≧|I|−|O|＝1−|O|≧1−Σ[k＝1〜∞]|Ok|
≧1−Σ[k＝1〜∞]1/10^k＝1−1/9＝8/9＞0