ルベーグの測度論自体は、そもそも面積とか体積とか長さとかそういう概念
に関する一般論だよ。もともとはルベーグの修士論文。
どんな平面図形[resp.立体図形]にも面積[resp.体積]が定義できる
ってわけではないというようなことが、面積[resp.体積]と呼ぶべき量が
満たす性質を追っかけることで明らかにされる。
んで、可測集合ってのは、面積や体積や長さを定義できる図形のことだ。
そんで、ルベーグ測度ってのは図形を測度の定義できる図形で外から近似
したときの下限が定まるなら、その下限として求まるってのがカラテオドリの
外測度の話。ふつうは内測度を考えない。

可測関数ってのは、面積や体積の定まる集合を面積や体積の定まる集合に
写す関数のこと。普通は一次元ボレル集合という完全加法族の生成系である
半開無限区間との整合性だけチェックするので、定義だけ見るとよくわからない
という可能性はあるね。積分しようとするときに面積が測れないと困るので
そういう関数を考えようというわけ。

ルベーグ積分は、各次元のルベーグ測度の間に成り立つ関係を記述していて、
例えば、重積分を逐次積分に帰着できる場合やその理由とかがハッキリするし、
また例えば、ルベーグ可積分関数のクラスが完備性を持つのは、面積やらが
満たすべき性質というものを、ジョルダン測度のそれから少し変えて極限操作に
都合がいいものに取り替えたたおかげ。まあその一方で、測度0のものは
見えなくなるけどね。

ものすごーーく適当に、ちょっと嘘やごまかしが混じってるのは勘弁してもらう
として、まとめるとこんな感じかな。