今、僕もルベーグ積分を勉強しているのですが、分からない点があります。

まずは、可測関数についてです。可測集合とは、「内測度」＝「外測度」となる集合のことですよね？カラテオドリの議論では、外測度だけで定義されており、

m*（ E ）＝m*（ E∩A ）＋m*（ E∩Ac ）

となるAを可測な集合とするわけですよね？

それに対して、可測関数なるものは、すごく単純に定義されます。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/080lbg.html

教科書に書いてある可測関数の定義はまさにこういうもので、「？？」という状況になります。こういうものはどういう風に理解したらよいのでしょうか？単純に「定義域が可測集合の関数」と理解してよいのでしょうか？

もう一点ですが、可測集合とならない集合とはあるのでしょうか？可測集合を満たすということを「公理」としておいてしまっているフシがあるのですが、そのあたりはどうなのでしょうか？