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リーマン積分の範囲だと関数空間とみなせない、というところがわからないです。

完備の話があると思うのですが、このあたりの理解も微妙です。
僕の理解だと、「積分を集合論的裏づけのある形で定義できる」ということなのですが、良いですかね？

ストーリーとしてはこういうことです。集合論では、濃度みたいなことを中心に議論をしているわけですよね。
それに対して、位相論の場所では、「距離」みたいなものが問題になってくる。
この中で、二次元だとデカルトの座標の世界だと、すごく直感的に明らかな「距離」なるものが定義できる。
でも、４次元やｎ次元などですと、まるで意味が分からない世界の中に「距離」を定義しないといけないわけですよね。
そういった距離を定義する中で、ベクトル的な議論で距離を定義するとすごく合理的だと。そして、これをベクトル空間（内積空間）と名づけるわけです。

この議論の中で、n→∞とし、「完備性」をいれてやれば、ヒルベルト空間の完成です。
完備性とは、内積空間にコーシー列、つまり、「連続性」を加味してやったものですから、
ヒルベルト空間とは、非常に直感的に明らかな空間なわけです。次元が無限で、その中で普通の演算（掛けたり微分したり）ができる

こういった空間の中で、リーマン積分だと問題が起きるってのがわからないです。
ヒルベルト空間における次元の無限性に何かが引っかかるのですかね？