>>588

無自覚かもしれません。そもそも「完備」とは、距離空間において、任意のコーシー列が収束することですから。
コーシー列が分かっていない、ということは、完備も分かっていないに決まっています。

そもそもコーシー列がわからないから、書き込んでいるわけで、
「わかってねぇよ、お前」といわれても、「そうです…」としかいえないっす。

>>589

確かに、そうですね。

①有界な単調関数の収束性
②区間縮小法の原理
③有界集合の上限（下限）の存在
④デデキントの切断公理

この４つは同値ですから。関係があるというより、「同じだ」といったほうが正確かもしれません。
ただ、「同値」であることを導く際の導出を丁寧に追ってみる価値はあるとおもいます。
コーシー列、完備への理解が進むかもしれません。

587で意味不明という声がありましたが、僕がいいたかったのは①についてです。普通の教科書には①がかいてあります。
質問の意味は、①とコーシー列の関係性が分からないということです。不備があり申し訳ない。