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　|S(n)-φS(n-1)| = | F(1) + Σ[k=2,n] {F(k)-φF(k-1)} |.
いま ε>0 とする。題意より、ある自然数Nがあって
　k>N　⇒　|F(k)-φF(k-1)| / |F(k-1)| < ε/2,
n>N に対して
　|S(n) -φS(n-1)| = | F(1) + Σ[k=2,n] {F(k)-φF(k-1)} |
　≦ G(N) + (ε/2)Σ[k=N+1,n] |F(k-1)|
　≦ G(N) + (ε/2)S(n-1),
ここに G(N) = | F(1) + Σ[k=2,N] {F(k)-φF(k-1)} |.
一方、lim(n→∞) S(n-1) = ∞ だから、あるN' があって
　n > N'　⇒　S(n-1) > (2/ε)G(N).
よって
　n > max(N,N')　⇒　|S(n)-φS(n-1)| < εS(n-1),
　lim(n→∞) S(n)/S(n-1) = φ.

ところで、フィボナッチ数って何?