638 ：１３２人目の素数さん：2008/02/02(土) 16:58:35
超現実数で1≠0.999…となるように小数展開を定義すると、
このスレの500〜600あたりに書いてあるように、

・任意の実数は小数展開可能
・実数でない超現実数は、小数展開可能なものも、不可能なものもある
・0.999…≠1だが、1/3＝0.333…である

という性質を満たすわけだが、この程度なら596のやり方で十分じゃないのか？
超現実数を使って構成する利点は何だろう？超現実数だと、596のやり方では
持ち得ない構造を備えることができるのか？


596 ：１３２人目の素数さん：2008/01/22(火) 10:07:41
Rを(順序体として)真に含む順序体Kを1つ取り、正の無限小ε∈Kを1つ固定する。
x∈Kが実数の場合は、Rのときと同じようにして無限小数展開を定義する。
ただし、表示が2通り得られる実数もある。そのときは、ある桁から先が
全て9になる表示の方は採用せず、有限小数の表示の方を使う。
すると、ある桁から先が全て9である無限小数(記号としての)は
何も定義されてない状態になるから、これらの記号には、次の
Kの元を対応させる。

0.a1a2a3…an9999…：＝0.a1a2…(1＋an)−ε

これにより、0.999…＝1−ε≠1となる。しかし、たとえば1/3＝0.333…である。
無限小数展開が定義されないKの元は たくさんあるが、しかし実数に対しては
定義されている。