>実数世界の比較記号だ。
>その世界に、同じ記号で別の意味、しかも結果が矛盾する意味を持ち込むなってことだ。

その世界に持ち込んだように見えたのならそう思うかもね。もうちょっと
厳密に説明すると、実数とは別に、(無限)小数表記の全体からなる集合S
を定義して、Sは順序集合となるから、記号[<,>,=]はそのままに話をしてる
状態をイメージしてもらうとどうかな。
歴史と実績のある数学の教育を受けた人は、順序集合の説明で「≦」
とか使うよね？(小数表記を順序集合の直積として捉えたりしない？)