問：
平面上に、円O1: x^2+y^2=r^2、円O2: (x-r)^2+y^2=r^2をとる。
円O1,O2の交点をA,Bとし 円O1上の定点C=(-r,0)をとる。
円C2の上でかつ円C1の内部にある点Mをとる。
線分MAの長さをα,MBの長さをβとする。

ベクトルの線形結合でMC=a・MA+b・MB となる実数a,bは一意に定まるが、このとき
a,bをα,βを用いて（rは用いないで）表せ。

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自分で考えてみたんですが、よくわかりません。
ABCはO1に内接する正三角形で、R(r,0)とおくとx軸とRMのなす角をθとしたとき
M(r-rcosθ, rsinθ) ですが、φ=θ/2 とおくとx軸とOMのなす角はφであり、
かつ M(rcos^2(φ)、rcosφsinφ)でもある、α=2sin(φ-π/3), β=-2sin(φ-2π/3)である、
など手がかりっぽいことは分かっています。
角BAOは2π/3だから余弦定理から、α^2+β^2+αβ=r^2になるので、
a,bをα,β,rで表せればrを消すことはできるでしょう。
ただ、MC=aMA+bMBに直接Mを入れてa,bの連立方程式を作ってもθやφが入ってしまいますし、
それをαやβに帰着させるのがなかなか難しいです…。