わからなかったら
f(x)=(x+1)(x-1)^2*D(x)+ax^2+bx+c
とでもおいて実際に割り算すればいい。

ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(b+2a)x+c-a
(x-1)^2　で割ったあまり (b+2a)x+c-a が 2x+2 と一致するから
b+2a=c-a=2

ax^2+bx+c
=ax^2+2(1-a)x+a+2
=a(x-1)^2+2x+2