>>16
簡略な解答っぽいものを書いておく

4つの解をa,b,x,yをと置いたとき
N=a^2+b^2=x^2+y^2
M=(a+x)(a-x)=(y+b)(y-b)

よってM,Nは自然数s,t,uを用いて以下のように表せる
M=s*(t*u)=(s*t)*u
4N=[s-(t*u)]^2 + [(s*t)+u]^2
　=(s^2+u^2)*(t^2+1) (注:t^2+1≠4m)

3つ組の解があるときの十分条件は
(s^2+u^2)が異なる二つの解を持ち、かつ4の倍数になることである。
4(s^2+u^2)=(2s)^2+(2u)^2を用いれば
2つ組の解から直ちに3つ組の解が求まる。

必要条件については考察が行き届かなかったが
とりあえず325以下に解がないことを確認して許してもらうことにする