F(x)：R＾ｎのある開集合Ο → R＾ｎ、C１級
Y(t)を閉集合[t_0,t_1]で定義された 微分方程式系 X'＝F(X)、初期条件 X(t_0)=Y_0 の解であるとする。

この設定で、ある定理の証明に、

[t_0, t_1]のコンパクト性から、あるε＞０が存在して、あるt∈[t_0,t_1]　に対し
|X-Y(t)|≦ε　ならば X∈Ο　となるようにできる。

と書いてあるのですが、コンパクト性がどのように使われているのか分かりません。
どなたかお教えくださいませんか？