>>82
カントルの公理から、2つの無理数の間に有理数が存在する証明を
書いてみたので、参考にどうぞ。ただし「中略」の部分は自力で埋めてくれ給え。

aとbを異なる実数でa＜bとする。
公理から、aおよびbを定める有理区間の列In, Jnがそれぞれ存在する。
このとき、次の補題から命題が導かれる。

補題「ある番号mが存在し、Im∩Jm = φ である。」
証明：
背理法で示す。どんな番号kに対しても Ik∩Jk≠φ と仮定すると、
---- 中略 ----
となり、aとbが異なることに反する。■

命題「a＜x＜b となる有理数xが存在する。」
証明：
補題を満たす番号mに対し、Im=[p,q], Jm=[r,s] とおく。
補題より、a≦q＜r≦b としてよい。
(i) a＜q のとき。qが条件を満たす有理数になる。
(ii) r＜b のとき。---- 中略 ----
(iii) a=q かつ r=b のとき。---- 中略 ----
以上より、いずれの場合にも a＜x＜b となる有理数xが存在する。■