無理数（①）を1つ与えるとき、小数第ｎ位未満を切り捨てた値を
An、小数第ｎ位未満を切り上げた値をBnとすればIn＝[An,Bn]の列は
Cantorの公理の条件を満足し、ただ1つの実数を決定する。
これは逆に言うと、An、Bnという相異なる任意の二つの有理数の間に
無理数が1つあるということである。
ただし、小数第ｎ位未満までは①と同じで、ｎ位以降は①と異なる
無理数は明らかに存在し、この無理数もCantorの公理を満足するので
An、Bnの間には①以外にも無理数が存在する
よって、相異なる任意の二つの有理数の間に
無理数が少なくとも1つある

というように考えてみたのですが
どうでしょうか？