>>72
定理（公理なのか？）の2行目から、重複表現か循環論法の臭いがするが‥‥
それはおいといて、そのステートメント中ではξが有理数か無理数かには
触れられてないので、それからあっさり>>70を導くのは困難かと。

有理数＜無理数＜有理数 なら、0＜q/p＜s/rとしてpr倍すると
rq＜ps となり、異なる自然数の間に無理数があることを既知とすれば
rq＜ξ＜ps から q/p＜ξ/(pr)＜s/r とできる。

要するに、2つの数の間隔を好きなだけ拡げて、目的の数を拾ったら
再び縮小するというアイディア。無理数でも同じことができるという主張を、
実数のアルキメデス性という。どうしてもそのカントルの公理にこだわるなら、
それからアルキメデス性を導けばいい。