やっぱり連続の条件はいらなかった。

fが定数関数でないと仮定すると、
あるxが存在して
f(x)≠f(0)

f(x)=f(x/2)より、任意のnに対して
f(x/2^n)≠f(0)

後はε-δ論法でこれが
lim［x→0］f(x)=f(0)
と矛盾していることを言えばいい。