補題
α を簡約された２次無理数とし、k = [α] で k ≧ 1 とする。
ω = 1/(α - k) とおく。
つまり α = k + 1/ω である。
このとき ω も簡約された２次無理数である。

証明
過去スレ４の286より ω も２次無理数である。
よって α' を α の共役とすると
ω' = 1/(α' - k) は ω の共役である。

0 ＜ α - k ＜ 1 だから ω ＞ 1 である。
-1 ＜ α' ＜ 0 だから
-1 - k ＜ α' - k
k - α' ＞ 1 + k
よって
1/(k - α') ＜ 1/(1 + k) ＜ 1
よって
-1 ＜ 1/(α' - k) ＜ 0

ω' = 1/(α' - k) だから ω は簡約された２次無理数である。
証明終