補題
m ＞ 0 を有理整数とする。
χ ≠ 1 を mod m の Dirichlet 指標(>951)とする。

任意の有理整数 n ＞ 0 に対して
|χ(1) + χ(2) + . . . + χ(n)| ≦ φ(m) である。

証明
>>954 より
χ(1) + χ(2) + . . . + χ(m) = 0
χ(m + 1) + χ(m + 2) + . . . + χ(2m) = 0
χ(2m + 1) + χ(2m + 2) + . . . + χ(3m) = 0
. . .

よって
任意の有理整数 n ＞ 0 に対して
n = mq + r, 0 ≦ r ＜ m とすれば

χ(1) + χ(2) + . . . + χ(n)
= χ(qm + 1) + χ(qm + 2) + . . . + χ(qm + r)

よって
|χ(1) + χ(2) + . . . + χ(n)|
= |χ(qm + 1) + χ(qm + 2) + . . . + χ(qm + r)| ≦ φ(m)
証明終