命題
Σa_n/n^s を Dirichlet 級数(>>795)とする。
s は実変数とする。
s_n = a_1 + a_2 + . . . + a_n とおく。

数列 (s_n) が有界なら Σa_n/n^s は s ＞ 0 において収束する。
さらに任意の δ ＞ 0 に対して [δ, ∞] において一様収束する。

証明
数列 (s_n) が有界だから C ＞ 0 があり、
|s_n| ≦ C が任意の n で成り立つ。

n ≦ m のとき
S(n, m) = a_n/n^s + a_(n+1)/(n+1)^s + . . . + a_m/m^s とおく。

>>948 より
S(n, m) = s_n(1/n^s - 1/(n+1)^s) + ... + s_(m-1)(1/(m-1)^s - 1/m^s)
- s_(n-1)/n^s + s_m/m^s

s ≧ δ のとき
|S(n, m)| ≦ C(1/n^s - 1/m^s) + C/n^s + C/m^s = 2C/n^s ≦ 2C/n^δ

2C/n^δ は n を十分大きくすればいくらでも小さくなる。
よって Σa_n/n^s は [δ, ∞] において一様収束する。
証明終