命題
n ≧ 1 を有理整数とする。
T を n 次の実対称行列とする。
T のすべての固有値は実数である。

証明
λ を T の固有値とする。
TX = λX となる n 次の列ベクトル X ≠ 0 がある。
(TX, X) = (λX, X) = λ(X, X)
(X, TX) = (X, λX) = λ~(X, X)

>>855 より (TX, X) = (X, TX) だから λ(X, X) = λ~(X, X)
(X, X) ≠ 0 だから λ = λ~
よって λ は実数である。
証明終