命題
α を実無理数として、
α = [a_0, . . . , a_n, β] とする。

各 a_i は有理整数で i ≧ 1 のとき a_i ≧ 1 で
β ＞ 1 である。

p_n = P(a_0, a_1, ... , a_n)
q_n = P(a_1, ... , a_n)
とおく。
ここで、P(a_0, a_1, ... , a_n) は >>44 で定義された多項式である。

このとき
α - p_n/q_n = (-1)^n/q_n(q_nβ + q_(n-1))
である。

証明
>>43 より
α = (p_nβ + p_(n-1))/(q_nβ + q_(n-1))

p_n/q_n - α = p_n/q_n - (p_nβ + p_(n-1))/(q_nβ + q_(n-1))
= (p_nq_(n-1) - p(n-1)q_n)/q_n(q_nβ + q_(n-1))
= (-1)^(n+1)/q_n(q_nβ + q_(n-1))

よって
α - p_n/q_n = (-1)^n/q_n(q_nβ + q_(n-1))
証明終