命題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
m を正の奇数で D と素とする。
R_0(m) を >>773 で定義したものとする。

R_0(m) = 2^μ である。
ここで μ は m の相異なる素因数の個数である。

証明
>>775 より
R_0(m) は x^2 ≡ D (mod 4m) の解を mod 2m で類別した個数に等しい。

D ≡ 0 (mod 4) のとき。

b^2 ≡ D (mod 4m) とすると、
b は偶数だから b = 2n と書ける。
n^2 ≡ D/4 (mod m) となる。

逆に n^2 ≡ D/4 (mod m) なら
2n は x^2 ≡ D (mod 4m) の解である。

n ≡ n' (mod m) と 2n ≡ 2n' (mod 2m) は同値である。

以上から R_0(m) は x^2 ≡ D/4 (mod m) の解の
mod m での個数である。

過去スレ４の933 より x^2 ≡ D/4 (mod m) の解の個数は、
2^μ である。
よって R_0(m) = 2^μ である。

(続く)