命題(Zagier の数論入門)
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
m を正の奇数で D と素とする。
R_0(m) を >>773 で定義したものとする。

R_0(m) は x^2 ≡ D (mod 4m) の解を mod 2m で類別した個数に等しい。

証明
G = SL_2(Z)
X = { 判別式 D の原始的２次形式で D ＜ 0 のときは正定値 }
Y = { (x, y) ∈ Z^2 ; gcd(x, y) = 1}
S = { (f, z) ∈ X × Y ; f(z) = m }
とおく。

>>774 より |S/G| = Σ|Y_f/G_f| である。
ここで和の f は X/G = C(D) の代表系全体を動く。

Y_f = { (x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) = m, gcd(x, y) = 1}
G_f = U(f)

よって
Y_f/G_f = S_0(m, f)
R_0(m, f) = |Y_f/G_f| である。
よって R_0(m) = |S/G| である。
(続く)