補題
G を群とし、X と Y を 左 G-集合(過去スレ４の388)とする。
g ∈ G, (x, y) ∈ X × Y のとき g(x, y) = (gx, gy) と
定義することにより X × Y は左 G-集合になる。
S を X × Y の G-不変(過去スレ４の391)な部分集合とする。
x ∈ X に対して
G_x = { g ; gx = g }
Y_x = { y ∈ Y ; (x, y) ∈ S } と書く。

S/G は有限集合とする。
このとき
|S/G| = Σ|Y_x/G_x| である。ここで和の x は X/G の代表系全体を
動く。
対称的に
|S/G| = Σ|X_y/G_y| である。ここで和の y は Y/G の代表系全体を
動く。

証明
写像 p: S/G → X/G を
p([(x, y)]) = [x] により定義する。

[(a, b)] ∈ p^(-1)([x]) とする。
ga = x となる g ∈ G がある。
gb = y とおく。
[(a, b)] = [(x, y)] である。

写像 φ : p^(-1)([x]) → Y_x/G_x
を φ([(a, b)]) = [y] で定義する。
φが全単射であることは容易にわかる。
よって |S/G| = Σ|Y_x/G_x| である。
証明終