補題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
R を判別式 D の整環とする。
θ = (D + √D)/2 とおく。

[2, b + θ] が R のイデアルとなるための条件を述べる。
D ≡ 0 (mod 8) なら b が偶数であることが必要十分である。
D ≡ 1 (mod 8) なら b は任意であることが必要十分である。
D ≡ 4 (mod 8) なら b は奇数であることが必要十分である。
D ≡ 5 (mod 8) なら [2, b + θ] はどんな b に対しても
イデアルにならない。

証明
>>724, >>725 より [2, b + θ] が R のイデアルとなるためには、
N(b + θ) が 2 で割れることが必要十分である。
この条件を書き換えよう。

N(b + θ) = (b + θ)(b + θ') = b^2 + bD + (D^2 - D)/4
= ((2b + D)^2 - D)/4
よって
((2b + D)^2 - D)/4 ≡ 0 (mod 2) が必要十分である。
よって
(2b + D)^2 - D ≡ 0 (mod 8) が必要十分である。

D ≡ 0 (mod 8) なら (2b)^2 ≡ 0 (mod 8)
よって
4b^2 ≡ 0 (mod 8)
b ≡ 0 (mod 2) なら 4b^2 ≡ 0 (mod 8)
b ≡ 1 (mod 2) なら 4b^2 ≡ 4 (mod 8)
よって b ≡ 0 (mod 2) が必要十分である。
(続く)