命題(平方剰余の第一補充法則)
p を奇素数とする。
(-1/p) = (-1)^((p-1)/2)
である。

証明(Dirichletの整数論講義)
過去スレ３の747で証明されているが、>>688 を使って証明する。

(-1)^((p-1)/2) = 1 とする。

p ≡ 1 (mod 4) である。

f = (-1, 0, p) の判別式は 4p である。
>>554 より 判別式 4p の種の指標系は (n/p) の一個からなる。
よって >>688 より f は主種に属す。
-1 は f により表現されるから (-1/p) = 1 である。

逆に、(-1/p) = 1 とする。
-1 ≡ b^2 (mod p)
b^2 - pc = -1

-4 = (2b)^2 - 4pc

g = (p, 2b, c) は判別式 -4 の原始的な正定値２次形式である。
>>554 より 判別式 -4 の種の指標系は (-1)^((n-1)/2) の
一個からなる。
よって >>688 より g は主種に属す。
p は g により表現されるから (-1)^((p-1)/2) = 1 である。
証明終