D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。

G = (Z/DZ)^* とおく。
H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で判別式 D の主形式により
　　　表現される } とおく。

[f] ∈ C(D) とする。
集合 S = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で f により表現される }
は、f の同値類 [f] で決まる。
さらに >>685 より S は G/H のある剰余類に一致する。

よって [f] に S を対応させることにより C(D) から G/H への
写像 Ψ_1 が得られる： Ψ_1 : C(D) → G/H

Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。

判別式 D の種の指標系(>>554)を Φ_1, . . . , Φ_μ とする。
Φ([f]) = (Φ_1([f]), . . . , Φ_μ([f])) と書いた(>>605)。

種の定義(>>555)より、
[f], [g] ∈ C(D) のとき [f] と [g] が同じ種に属すためには、
Φ([f]) = Φ([g]) が必要十分である。

>>600 より H = Ker(Φ) だから、これは Ψ_1([f]) = Ψ_1([g]) と
同値である。

>>600 の命題の証明には平方剰余の相互法則は使っていないことに
注意する。