>>678 の続き。
D ＞ 0 とする。
よって >>677 の (a, 0, c) または (2a, 2a, c) を (A, B, C) と書く。

>>671 と同様に B ≡ B' (mod 2|A|), 0 ＜ √D - B' ＜ 2|A|
となる、B' が一意に存在する。
よって (A, B, C) と同値な (A, B', C') が存在する。

(A, B', C') は簡約２次形式(>>330)であることを示そう。
>>333 より |√D - 2|A|| ＜ B' ＜ √D を示せばよい。
0 ＜ √D - B' ＜ 2|A| であるから
結局、2|A| ＜ √D + B' を示せばよい。

2|A| ＜ √D の場合。
0 ＜ √D - B' ＜ 2|A| より、√D - 2|A| ＜ B'
0 ＜ √D - 2|A| だから 0 ＜ B'
よって 2|A| ＜ √D + B'

2|A| ＞ √D の場合。
B = 0 なら D = -4AC
よって D ＞ 4|A|^2
よって 2|A| ＜ √D
従って、2|A| ＞ √D の場合 B ≠ 0 である。

D = -AA', |A| ＜ |A'| だから √D ＞ |A| である。
よって 0 ＜ √D - |A| ＜ 2|A|

これと
A ≡ |A| (mod 2|a|) より B' = |A| である。

よって
2|A| ＜ √D + B'