>>670 の続き。

D ≡ 1 (mod 4) で D ＞ 0 の場合を考える。

>>669 より
D = -aa', gcd(a, a') = 1
|a| ＜ |a'| として、(a, a, (a + a')/4) を考える。

m = [(√D - a)/2|a|] とおく。ここで [*] は Gauss の記号である。
即ち、
m ＜ (√D - a)/2|a| ＜ m + 1

b = a + 2|a|m とおく。

a ≡ b (mod 2|a|)
で
0 ＜ √D - b ＜ 2|a|
である。

SL_2(Z) の元 (1, 1)/(0, 1) を S と書いた(過去スレ４の237)。
a ＞ 0 のとき n = m
a ＜ 0 のとき n = -m
とおく。
S^n = (1, n)/(0, 1) である。

過去スレ４の401より
(a, a, (a + a')/4)S^n = (a, 2an + a, an^2 + an + (a + a')/4)
である。

b = 2an + a だから
(a, a, (a + a')/4) は (a, b, c) と同値である。
ここで、c = an^2 + an + (a + a')/4 とおいた。