C(D) (>>605) の両面類の個数を求めよう。

まず D ≡ 1 (mod 4) の場合を考える

>>655 より
判別式 D の原始的な２次形式は、(a, a, (a + a')/4) の形である。
ここで、D = -aa', gcd(a, a') = 1

gcd(a, a') = 1 より なら |a| = |a'| = 1 である。
よって |D| = |a||a'| = 1 となるが、D ≡ 1 (mod 4) だから
これはあり得ない。
よって |a| ≠ |a'| である。

SL_2(Z) の元 U = (-1, -1)/(2, 1) に対して
(a, a, c)U = (a', a', c)
となることは、>>504 の公式

k = ap^2 + bpr + cr^2
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
m = aq^2 + bqs + cs^2

から簡単な計算でわかる。

よって |a| ＜ |a'| となる a に対して (a, a, (a + a')/4) のみを
考えればよい。
このような (a, a, (a + a')/4) の個数は >>658 より
2^(μ + 1)/2 = 2^μ である。