D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 (mod 4) とする。
判別式 D の原始的な２次形式 (b, b, c) の個数 n を求めよう。
D ≡ b^2 (mod 4) だから b は偶数である。
よって b = 2a としてよい。

D = 4(a^2) - 8ac で gcd(2a, c) = 1 である。
D/4 = a^2 - 2ac = a(a - 2c)
a' = 2c - a とおく。
a + a' = 2c
よって a + a' ≡ 2 (mod 4)

a が奇数なら a ≡ 1, 3 (mod 4) である。
a ≡ 1 (mod 4) なら、a' ≡ 1 (mod 4)
a ≡ 3 (mod 4) なら、a' ≡ 3 (mod 4)

よって a ≡ a' (mod 4)
よって D/4 ≡ -aa' ≡ -(a^2) ≡ -1 ≡ 3 (mod 4)

gcd(a, a') = gcd(a, 2c)
gcd(2a, c) = 1 で a が奇数だから gcd(a, 2c) = 1
よって gcd(a, a') = 1

逆に
D/4 ≡ 3 (mod 4) なら
D/4 = -aa' より a は奇数。

aa' ≡ 1 (mod 4) だから a ≡ a' (mod 4)
よって a + a' ≡ 2 (mod 4)

以上から D/4 ≡ 3 (mod 4) のとき、
D/4 を割る素数の集合を S(D/4) とすると、>>653 と同様の理由から
n = 2^(|S(D/4)| + 1) である。