D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。

C(D) の両面類の個数を求めるため。
まず判別式 D の原始的な両面形式(>>438) で同値でないものの個数を
求めよう。

(a, b, c) を原始的な両面形式とする。
b ≡ 0 (mod a) である。

SL_2(Z) の元 (1, 1)/(0, 1) を S と書いた(過去スレ４の237)。

任意の n ∈ Z に対して S^n = (1, n)/(0, 1) である。
よって過去スレ４の401より (a, b, c) ∈ F(D) のとき
(a, b, c)S^n = (a, 2an + b, an^2 + bn + c)
である。

一方、
b ≡ 0 (mod a) だから、
b ≡ 0, a (mod 2a) である。

よって
(a, b, c) は (a, 0, c) または (a, a, c) と同値である。