命題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
R を判別式 D の整環とする。
>>632 より C(D) はアーベル群である。

C ∈ C(D) が両面類(>>450)であるためには C^2 = 1 が必要十分である。

証明
f = (a, b, c) として、C = [f] を C(D) の元とする。
g = (a, -b, c) とおく。
C が両面類であるとする。

>>451 より [f] = [g] である。
>>647 より [g] = [f]^(-1) である。
よって [f] = [f]^(-1) となり [f]^2 = 1 である。

逆に、[f]^2 = 1 なら [f] = [f]^(-1) = [g] となり、
[f] は両面類である。
証明終