命題
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
R を判別式 D の整環とする。
>>632 より C(D) はアーベル群である。
f = (a, b c) を [f] ∈ C(D) となる２次形式とする。
即ち f は原始的で D ＜ 0 のとき a ＞ 0 である。
g = (a, -b, c) とおく。
このとき [f][g] = 1 である。

証明
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [a, (-b + √D)/2] とおく。
I と J は R の原始イデアルである(過去スレ４の592)。

IJ = [a, (-b + √D)/2][a, (b + √D)/2]
= <a^2, a(b + √D)/2, a(-b + √D)/2, (D - b^2)/4>
= <a^2, ab, a(b + √D)/2, a(-b + √D)/2, ac>
= a<a, b, (b + √D)/2, (-b + √D)/2, c>
= aR

ここで、<x, y, . . .> は x, y, . . . で生成される R の部分群を表す。

上記から IJ = aR だから D ＜ 0 のとき G(D) (>>615) において
[I][J] = 1 である。よって [f][g] = 1 である。

D ＞ 0 のときは α を sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√D) の
任意の元とする。
[f] ∈ C(D) には [Iα] ∈ G(D) が対応する。
[g] ∈ C(D) には [Jα] ∈ G(D) が対応する。
[Iα] [Jα] = [IJα^2] = [aα^2] = 1
よって [f][g] = 1 である。
証明終