D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
D は２次体 Q(√D) のある整環 R の判別式である(>>465)。

>>615 で定義した G(D) の元 C を任意にとる。
C の代表 I を任意にとる。即ち C = [I] である。
I は R の可逆分数イデアルである。

I = [α, β] とし、α, β の向き(>>188)は正とする。

f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
>>197 と >>202 より f(x, y) は判別式 D の２次形式である。
>>220 より f(x, y) は原始的である。

C に f = f(x, y) の C(G) における類 [f] を対応させることにより、
G(D) と C(G) の同型が得られる。
このことは D ＜ 0 のときは >>250 により、
D ＞ 0 のときは >>253 により証明されている。

>>534 より f により固有に表現される数 m で D と素であるもの
が存在する。
>>605 より Ψ([f]) = [m]H である。
よって Ψ([I]) = mH である。