定理
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。

H = { [m] ∈ (Z/DZ)^* ; m は D と素で主形式により表現される }
とおく。

判別式 D の種の指標系(>>554)を Φ_1, . . . , Φ_μ とする。
判別式 D の種の個数は 2^(μ-1) である。

証明
>>605 より判別式 D の種には Ker(χ)/H のある剰余類が対応し、
異なる種には異なる剰余類が対応する。
よって種の個数は |Ker(χ)/H| 以下である。

>>607 より |Ker(χ)/H| = 2^(μ-1) だから Ker(χ)/H の
任意の剰余類 [n]H に種が対応することを示せばよい。
ここで n は D と素な有理整数で [n] は mod D の剰余類で
χ([n]) = 1 である。

Dirichletの算術級数定理(>>606)より [n] には 素数 p が含まれる。
即ち [n] = [p] である。
χ([p]) = 1 だから >>569 より p は判別式 D のある原始的２次形式 f
により固有に表現される。
よって f の属す種が [n]H に対応する。
証明終