補題
D を平方数でない有理整数で、D = (2^(a + 2))m とする。
ここで a ≧ 4 で m は奇数である。
H = { [k] ∈ (Z/DZ)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式により
　　　表現される } とおく。
Φ : (Z/DZ)^* → {±1}^μ を >>590 で定義した準同型とする。
このとき H = Ker(Φ) である。

証明
G = (Z/DZ)^* とおく。
[k] ∈ H とすると k = u^2 - (2^a)mv^2 となる有理整数 u, v がある。
m = Π(p_i)^(r_i) をm の素因数分解とする。
k ≡ u^2 (mod (p_i)^(r_i)) である。

>>588 より
k ≡ z^2 (mod 2^(a + 2)) となる有理整数 z がある。

中国式剰余定理から 各 i に対して
w ≡ u (mod (p_i)^(r_i)) かつ
w ≡ z (mod 2^(a + 2)) となる有理整数 w がある。
よって k ≡ w^2 (mod D) である。
よって H ⊂ G^2 である。
逆の包含関係は明らかだから H = G^2 である。

中国式剰余定理から G = K×ΠG_i
よって G^2 = K^2×Π(G_i)^2

ここで K = (Z/(2^(a + 2))Z)^*
G_i = (Z/((p_i)^(r_i))Z)^*

よって >>592 と >>589 より H = Ker(Φ) である。
証明終