補題
p を奇素数とする。
n ≧ 1 を有理整数とする。

G = (Z/(p^n)Z)^* とおく。
[a] ∈ G に Legendre の記号 (a/p) を対応させることにより
アーベル群としての準同型 χ_p : G → {±1} が得られる。

このとき χ_p は全射で Ker(χ_p) = G^2 である。

証明
mod p^n の原始根を r とする。
G の任意の元は [r] のベキとして書けるから
(r/p) = 1 とすると G の任意の元 [a] に対して (a/p) = 1 となって
矛盾する。
よって (r/p) = -1 である。
よって G の元 [r]^e にたいして χ_p([r]^e) = (-1)^e となる。
これから補題の主張は直ちにでる。
証明終