補題
D を平方数でない有理整数で、D = 2^(a + 2)m とする。
ここで a ≧ 4 で m は奇数である。

K = { [k] ∈ (Z/2^(a + 2)Z)^* ; k は D と素で判別式 D の主形式に
　　　より表現される }
とおく。

G = (Z/2^(a + 2)Z)^* とおくと K = G^2 である。

証明
[k] ∈ K なら k = u^2 - (D/4)v^2 = u^2 - (2^a)mv^2 となる
有理整数 u, v がある。

k は奇数で、(2^a)mv^2 は偶数だから u は奇数である。
よって uz ≡ 1 (mod 2^(a + 2)) となる z がある。

(u - (2^(a-1))mvz)^2 = u^2 - (2^a)mvuz + (2^(2a - 2))(mvz)^2

a ≧ 4 だから 2a - 2 ≧ a + 2

よって
(u - (2^(a-1))mvz)^2 ≡ u^2 - (2^a)mv (mod 2^(a + 2))

よって
[k] ∈ G^2 である。
よって
K ⊂ G^2 である。
逆の包含関係は明らかである。
証明終