D を平方数でない(正または負の)有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4)
とする。

ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の２次形式とする。
k を ax^2 + bxy + cy^2 で表現される有理整数とする
(過去スレ４の701)。

即ち不定方程 k = ax^2 + bxy + cy^2
に有理整数解 (p, r) があるとする。

m を ax^2 + bxy + cy^2 で表現される有理整数とする
即ち不定方程 m = ax^2 + bxy + cy^2
に有理整数解 (q, s) があるとする。

ax^2 + bxy + cy^2 に
一次変換
x = pu + qv
y = ru + sv
を施すと

過去スレ４の280より
k = ap^2 + bpr + cr^2
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
m = aq^2 + bqs + cs^2
となる。
ただし、過去スレ４の280では ps - qr = ±1 と仮定したが
この仮定がなくてもこの関係式が成り立つことは明らかである。

過去スレ４の281より
l^2 - 4km = D(ps- qr)^2
よって
4km = l^2 - D(ps- qr)^2